Analysis Beispiele

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ als $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ um.

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ durch Herausziehen von $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $4$ annähert.

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $\frac{3}{2}$ von ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $4$ annähert.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $4$ annähert.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Schritt 2.9

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $4$ für $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $4$ für $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $4$ für $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $12$ von $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.3

Addiere $4$ und $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4

Multipliziere $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.2.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Schritt 4.4.6

Addiere $2$ und $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Dezimalform:

$1.7624831 \cdot 10^{27}$