Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x^{2} - 3 x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 3 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$12 x - 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x - 3 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $12 x - 3$ und $0$ .

$12 x - 3$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x - 3 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 3$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 3$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 3$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{3}{12}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{3}{12}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{12}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = \frac{3 (1)}{12}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 6 x^{2} - 3 x + 5$ bei $x = \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6 {(\frac{1}{4})}^{2} - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (\frac{1}{4}) = 6 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{4^{2}}) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{16}) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{1}{4}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{4}) = 3 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 5$

Schritt 3.2.1.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{4} + 5$

Schritt 3.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{4} + 5$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 + 5 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 + 40}{8}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{- 3 + 40}{8}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 3$ und $40$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{37}{8}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{37}{8}$ .

$\frac{37}{8}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 6 x^{2} - 3 x + 5$ ist $y = \frac{37}{8}$ .

$y = \frac{37}{8}$

Schritt 5