Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 2^{n + 1} + 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 2^{n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + 3^{n}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} 2^{n} + lim_{n \to 8} 3^{n}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} 3^{n}}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2^{lim_{n \to 8} n + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{lim_{n \to 8} n} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{lim_{n \to 8} n}}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{2^{8 + 1} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{2^{9} + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $2$ mit $9$ .

$\frac{512 + 3^{8 + 1}}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13.1.3

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{512 + 3^{9}}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13.1.4

Potenziere $3$ mit $9$ .

$\frac{512 + 19683}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13.1.5

Addiere $512$ und $19683$ .

$\frac{20195}{2^{8} + 3^{8}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{20195}{256 + 3^{8}}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $3$ mit $8$ .

$\frac{20195}{256 + 6561}$

Schritt 13.2.3

Addiere $256$ und $6561$ .

$\frac{20195}{6817}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{20195}{6817}$

Dezimalform:

$2.96244682 \dots$