Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $n^{\frac{1}{\ln (n)}}$ als $e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}$ um.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{\ln (n)}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (8)$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{1}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{e}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{e}$

Dezimalform:

$0.36787944 \dots$