Analysis Beispiele

$lim_{n \to 3} \frac{8^{\log_{2} (n)}}{2^{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 3} 8^{\log_{2} (n)}}{lim_{n \to 3} 2^{n}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{8^{lim_{n \to 3} \log_{2} (n)}}{lim_{n \to 3} 2^{n}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{8^{\log_{2} (lim_{n \to 3} n)}}{lim_{n \to 3} 2^{n}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{8^{\log_{2} (lim_{n \to 3} n)}}{2^{lim_{n \to 3} n}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $n$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $3$ für $n$ .

$\frac{8^{\log_{2} (3)}}{2^{lim_{n \to 3} n}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $3$ für $n$ .

$\frac{8^{\log_{2} (3)}}{2^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8^{\log_{2} (3)}}{8}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8^{\log_{2} (3)}$ und $8$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8^{\log_{2} (3)}$ heraus.

$\frac{8 \cdot 8^{\log_{2} (3) - 1}}{8}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 \cdot 8^{\log_{2} (3) - 1}}{8 (1)}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 8^{\log_{2} (3) - 1}}{8 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8^{\log_{2} (3) - 1}}{1}$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $8^{\log_{2} (3) - 1}$ durch $1$ .

$8^{\log_{2} (3) - 1}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8^{\log_{2} (3) - 1}$

Dezimalform:

$3.375$