Analysis Beispiele

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ als $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ um.

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2 n + 1}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $1000000$ annähert.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $1000000$ annähert.

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $1000000$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $1000000$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $1000000$ annähert.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $1000000$ annähert.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Schritt 2.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1000000$ für alle $n$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $1000000$ für $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $1000000$ für $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $1000000$ für $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Schritt 4.1.2

Addiere $2000000$ und $1$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Schritt 4.2

Potenziere $1000000$ mit $2$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

Schritt 4.3

Addiere $1000000000000$ und $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{1}{2000001}$ und $\ln (1000001000000)$ .

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Dezimalform:

$1.00001381 \dots$