Analysis Beispiele

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(k + 1)}^{k + 1}$ und $k + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $k + 1$ aus ${(k + 1)}^{k + 1}$ heraus.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $k + 1$ aus $(k + 1) i$ heraus.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{i}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $k$ ist.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe ${(k + 1)}^{k}$ als $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ um.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(k + 1)}^{k})$ durch Herausziehen von $k$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $k$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $i$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $k$ ist.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

Schritt 3.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

Schritt 4

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $k^{k}$ als $e^{\ln (k^{k})}$ um.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln (k^{k})$ durch Herausziehen von $k$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $k$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $k$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $k$ durch Einsetzen von $8$ für $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{8 \cdot \ln (8)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $e^{8 \cdot \ln (8)}$ aus $\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i$ heraus.

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i \cdot 8$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{i}$ und $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i} \cdot i \cdot 8$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i}$ und $i$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i} \cdot 8$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i}$ und $8$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Schritt 7.5.2

Dividiere $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$ durch $1$ .

$e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$

Schritt 7.6

Addiere $8$ und $1$ .

$e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)} \cdot 8$

Schritt 7.7

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$ .

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Dezimalform:

$20.52627611 \dots$