Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 8}}{\frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} {(n + 8)}^{n + 1}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(n + 8)}^{n + 1}$ als $e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}$ um.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(n + 8)}^{n + 1})$ durch Herausziehen von $n + 1$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{(n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} (n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 3.11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Schritt 4

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(n + 7)}^{n}$ als $e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}$ um.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}}}}$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln ({(n + 7)}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n + 7)}}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n + 7)}}}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 7)}}}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7)}}}}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3^{8 + 8} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.2

Addiere $8$ und $8$ .

$3^{16} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.3

Potenziere $3$ mit $16$ .

$43046721 \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$43046721 (\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}} \cdot \frac{1}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}})$

Schritt 7.5

Kombinieren.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)} e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.6

Multipliziere $e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}$ mit $e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.6.2

Addiere $8$ und $7$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.6.3

Addiere $8$ und $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (8 + 8)}}$

Schritt 7.6.4

Addiere $8$ und $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Schritt 7.6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.6.5.1

Vereinfache $8 \ln (15)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (15^{8}) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Schritt 7.6.5.2

Potenziere $15$ mit $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Schritt 7.6.5.3

Vereinfache $9 \ln (16)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (16^{9})}}$

Schritt 7.6.5.4

Potenziere $16$ mit $9$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (68719476736)}}$

Schritt 7.6.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625 \cdot 68719476736)}}$

Schritt 7.6.7

Mutltipliziere $2562890625$ mit $68719476736$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $3^{8 + 1}$ mit $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Schritt 7.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.8.1

Addiere $8$ und $1$ .

$43046721 \frac{3^{9}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Schritt 7.8.2

Potenziere $3$ mit $9$ .

$43046721 \frac{19683}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Schritt 7.9

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$43046721 (\frac{19683}{176120502681600000000})$

Schritt 7.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6561$ .

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Schritt 7.10.1

Faktorisiere $6561$ aus $43046721$ heraus.

$6561 (6561) \frac{19683}{176120502681600000000}$

Schritt 7.10.2

Faktorisiere $6561$ aus $176120502681600000000$ heraus.

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Schritt 7.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Schritt 7.10.4

Forme den Ausdruck um.

$6561 (\frac{19683}{26843545600000000})$

Schritt 7.11

Kombiniere $6561$ und $\frac{19683}{26843545600000000}$ .

$\frac{6561 \cdot 19683}{26843545600000000}$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $6561$ mit $19683$ .

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Dezimalform:

$4.81084596 \cdot 10^{- 9}$