Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Schritt 3

Vereine die Terme

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Schritt 4

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ als $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ um.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Schritt 7.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Schritt 7.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{8}$ an.

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Schritt 7.2.4

Potenziere $9$ mit $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Schritt 7.2.5

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{16777216}{43046721}$ mit $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16777216}{43046721}$

Dezimalform:

$0.38974434 \dots$