Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{x (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 1

Ziehe den Term $x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$x lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 n + 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 n + 3)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 13

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$x \frac{9 {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x \frac{9 {(16 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.1.3

Addiere $16$ und $1$ .

$x \frac{9 \cdot 17^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.1.4

Potenziere $17$ mit $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(16 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.2.2

Addiere $16$ und $3$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{19^{2} \cdot 8}$

Schritt 16.2.3

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{361 \cdot 8}$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $9$ mit $289$ .

$x \frac{2601}{361 \cdot 8}$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $361$ mit $8$ .

$x \frac{2601}{2888}$

Schritt 16.5

Kombiniere $x$ und $\frac{2601}{2888}$ .

$\frac{x \cdot 2601}{2888}$

Schritt 16.6

Bringe $2601$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2601 x}{2888}$