Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Addiere $8$ und $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

Schritt 15.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

Schritt 15.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

Schritt 15.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

Schritt 15.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ mit $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ mit $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

Schritt 15.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

Schritt 15.6

Vereinfache.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

Schritt 15.7

Dividiere $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ durch $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

Schritt 15.8

Multipliziere $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Schritt 15.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Schritt 15.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.2

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.3

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.9.3.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Schritt 15.9.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$1.05727969 \dots$