Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} {(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1}$ als $e^{\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})}$ um.

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})$ durch Herausziehen von $2 n + 1$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n + 1) \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n + 1) \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} 2 n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{6 n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 lim_{n \to 8} \frac{n}{6 n + 5})}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 6 n + 5})}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 6 n + lim_{n \to 8} 5})}$

Schritt 2.10

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5})}$

Schritt 2.11

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Schritt 4.2

Addiere $16$ und $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Schritt 4.3

Vereinfache $17 \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})$ , indem du $17$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Schritt 4.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

${(6 \frac{8}{48 + 5})}^{17}$

Schritt 4.5.2

Addiere $48$ und $5$ .

${(6 (\frac{8}{53}))}^{17}$

Schritt 4.6

Multipliziere $6 (\frac{8}{53})$ .

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $6$ und $\frac{8}{53}$ .

${(\frac{6 \cdot 8}{53})}^{17}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

${(\frac{48}{53})}^{17}$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $\frac{48}{53}$ an.

$\frac{48^{17}}{53^{17}}$

Schritt 4.8

Potenziere $48$ mit $17$ .

$\frac{38115448583970200000000000000}{53^{17}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{38115448583970200000000000000}{53^{17}}$

Dezimalform:

$0.18552876 \dots$