Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} {(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$ als $e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$ um.

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})$ durch Herausziehen von $2 n^{2} + 1$ aus dem Logarithmus.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Schritt 2.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Schritt 2.11

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Schritt 2.12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Schritt 2.13

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Schritt 2.14

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e^{(2 \cdot 64 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$e^{(128 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 4.2

Addiere $128$ und $1$ .

$e^{129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Schritt 4.3

Vereinfache $129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})$ , indem du $129$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129})}$

Schritt 4.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

${(\frac{64 + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Schritt 4.5.2

Addiere $64$ und $2$ .

${(\frac{66}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

${(\frac{66}{64 - 1 \cdot 3})}^{129}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${(\frac{66}{64 - 3})}^{129}$

Schritt 4.6.3

Subtrahiere $3$ von $64$ .

${(\frac{66}{61})}^{129}$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $\frac{66}{61}$ an.

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Dezimalform:

$25919.04337747 \dots$