Analysis Beispiele

$lim_{n \to 8} \ln (\ln (n + 1)) - \ln (\ln (n))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} \ln (\ln (n + 1)) - lim_{n \to 8} \ln (\ln (n))$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{n \to 8} \ln (n + 1)) - lim_{n \to 8} \ln (\ln (n))$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (\ln (lim_{n \to 8} n + 1)) - lim_{n \to 8} \ln (\ln (n))$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\ln (\ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)) - lim_{n \to 8} \ln (\ln (n))$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\ln (\ln (lim_{n \to 8} n + 1)) - lim_{n \to 8} \ln (\ln (n))$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (\ln (lim_{n \to 8} n + 1)) - \ln (lim_{n \to 8} \ln (n))$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (\ln (lim_{n \to 8} n + 1)) - \ln (\ln (lim_{n \to 8} n))$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\ln (\ln (8 + 1)) - \ln (\ln (lim_{n \to 8} n))$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\ln (\ln (8 + 1)) - \ln (\ln (8))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\ln (8 + 1)}{\ln (8)})$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\ln (\frac{\ln (9)}{\ln (8)})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{\ln (9)}{\ln (8)})$

Dezimalform:

$0.05509564 \dots$