Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{8} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1^{2}}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{4}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{4} - 1)}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1)}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2})}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1))}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2}))}{e^{x} + 1}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{e^{x} + 1}$

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{x} + 1}$