Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 8} x^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2} - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2} - 8^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2} - 8^{2} \cdot e^{8^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64 - 8^{2} \cdot e^{8^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64 - 1 \cdot 64 \cdot e^{8^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{64 - 64 \cdot e^{8^{2}}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64 - 64 \cdot e^{64}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.5

Schreibe $64 - 64 e^{64}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{8^{2} - 64 e^{64}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.5.2

Schreibe $64 e^{64}$ als ${(8 e^{32})}^{2}$ um.

$\frac{8^{2} - {(8 e^{32})}^{2}}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = 8 e^{32}$ .

$\frac{(8 + 8 e^{32}) (8 - (8 e^{32}))}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.5.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{(8 + 8 e^{32}) (8 - 8 e^{32})}{e^{x^{2}}}$