Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $8$ von $x^{8}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - lim_{x \to 8} 4 x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 lim_{x \to 8} x}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{8^{8} - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 4 \cdot 8}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777216 - 32}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $32$ von $16777216$ .

$\frac{\sqrt[4]{16777184}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $16777184$ als $2^{4} \cdot 1048574$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $16777184$ heraus.

$\frac{\sqrt[4]{16 (1048574)}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{2^{4} \cdot 1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ mit $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}} \cdot \frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[4]{1048574}}{2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}}$ mit $\frac{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}{2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{(2 x^{2} - \sqrt{x^{4} - 2}) (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{4 x^{4} + 2 x^{2} \sqrt{x^{4} - 2} - 2 \sqrt{x^{4} - 2} x^{2} - {\sqrt{x^{4} - 2}}^{2}}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt[4]{1048574} (2 x^{2} + \sqrt{x^{4} - 2})}{3 x^{4} + 2}$