Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 5}}{9 x + 6}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5}}{9 x + 6}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5}}{9 x + 6}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 64 + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{256 + 5}}{9 x + 6}$

Schritt 3.1.3

Addiere $256$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{261}}{9 x + 6}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (29)}}{9 x + 6}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 29}}{9 x + 6}$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{29}}{9 x + 6}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $9 x + 6$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{29}}{3 (3 x) + 6}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{29}}{3 (3 x) + 3 (2)}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x) + 3 (2)$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{29}}{3 (3 x + 2)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{29}}{3 (3 x + 2)}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{29}}{3 x + 2}$