Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $\frac{5}{3}$ von $x^{\frac{5}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 2^{5} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 \cdot 32 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{64 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{64 - {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64 - 2^{1} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.9

Berechne den Exponenten.

$\frac{64 - 1 \cdot 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{64 - 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.11

Subtrahiere $2$ von $64$ .

$\frac{62 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.1.12

Addiere $62$ und $7$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{(x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}) (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + x^{\frac{8}{5}} \cdot 3 - x^{\frac{21}{10}} + 3 x^{\frac{8}{5}} + 9 - 3 \sqrt{x} + x^{\frac{21}{10}} + \sqrt{x} \cdot 3 - {\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + 6 x^{\frac{8}{5}} + 9 - x}$

Schritt 7.6

Stelle die Terme um.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- x + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x^{\frac{8}{5}}$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}})$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{\frac{16}{5}}$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}})$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Schritt 7.12

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)}$

Schritt 7.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Schritt 7.14

Schreibe $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ als $- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ um.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Schritt 7.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9}$