Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 2 {(4 x - 3)}^{2} (x - 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 8} {(4 x - 3)}^{2} (x - 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 8} {(4 x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(4 x - 3)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} 4 x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2 {(4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{2 {(4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 {(4 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2 {(4 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{2 {(32 - 1 \cdot 3)}^{2} (8 - 1 \cdot 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 {(32 - 3)}^{2} (8 - 1 \cdot 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 {(32 - 3)}^{2} (8 - 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $3$ von $32$ .

$\frac{2 \cdot 29^{2} (8 - 4)}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{2 \cdot 29^{2} \cdot 4}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 \cdot 29^{2}}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $29$ mit $2$ .

$\frac{8 \cdot 841}{7 x^{2 (- x + 7)}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \cdot 841}{7 x^{2 (- x) + 2 \cdot 7}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 \cdot 841}{7 x^{- 2 x + 2 \cdot 7}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{8 \cdot 841}{7 x^{- 2 x + 14}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $8$ mit $841$ .

$\frac{6728}{7 x^{- 2 x + 14}}$