Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.1.5

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $x^{\frac{4}{3}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$