Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 14 x^{2} - 6 + 21 x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 14 x^{2} - lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 21 x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 2

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{14 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 21 x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{14 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 21 x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{14 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 6 + lim_{x \to 8} 21 x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 5

Ziehe den Term $21$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{14 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 6 + 21 lim_{x \to 8} x^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{14 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 6 + 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{14 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 6 + 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{14 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 6 + 21 \cdot 8^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{14 \cdot 64 - 1 \cdot 6 + 21 \cdot 8^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $14$ mit $64$ .

$\frac{896 - 1 \cdot 6 + 21 \cdot 8^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{896 - 6 + 21 \cdot 8^{3}}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.4

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{896 - 6 + 21 \cdot 512}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $21$ mit $512$ .

$\frac{896 - 6 + 10752}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.6

Subtrahiere $6$ von $896$ .

$\frac{890 + 10752}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$

Schritt 8.7

Addiere $890$ und $10752$ .

$\frac{11642}{6 x^{3} - 7 x^{2} + 15}$