Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 8} e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - e^{8}}{1 + e^{x}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - e^{8}}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.2

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {(e^{4})}^{2}}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e^{4}$ .

$\frac{(1 + e^{4}) (1 - e^{4})}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1 + e^{4}) (1^{2} - e^{4})}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(1 + e^{4}) (1^{2} - {(e^{2})}^{2})}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e^{2}$ .

$\frac{(1 + e^{4}) ((1 + e^{2}) (1 - e^{2}))}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1 + e^{4}) ((1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2}))}{1 + e^{x}}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$\frac{(1 + e^{4}) ((1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e))}{1 + e^{x}}$

$\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{1 + e^{x}}$