Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x - 2 x}} - x$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2}} - x$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Schritt 2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{x (x - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{x (x - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} {\sqrt{x (x - 2)}}^{1}} - x$

Schritt 2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1 + 1}} - x$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{2}} - x$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{x (x - 2)}}^{2}$ als $x (x - 2)$ um.

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Schritt 2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (x - 2)}$ als ${(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{({(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - x$

Schritt 2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - x$

Schritt 2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Schritt 2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Schritt 2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{1}} - x$

Schritt 2.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x$

Schritt 2.2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- x$ und $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} + \frac{- x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x) (x - 2)}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} (x - 2)}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} x - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} + 2 x^{2}}{x (x - 2)}$