Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt{4 + 3 x - 5}}{x - 7}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} 4 + 3 x - 5}}{x - 7}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} 4 + lim_{x \to 7} 3 x - lim_{x \to 7} 5}}{x - 7}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to 7} 3 x - lim_{x \to 7} 5}}{x - 7}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{4 + 3 lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 5}}{x - 7}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{\sqrt{4 + 3 lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 5}}{x - 7}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3 \cdot 7 - 1 \cdot 5}}{x - 7}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{\sqrt{4 + 21 - 1 \cdot 5}}{x - 7}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{4 + 21 - 5}}{x - 7}$

Schritt 3.3

Addiere $4$ und $21$ .

$\frac{\sqrt{25 - 5}}{x - 7}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$\frac{\sqrt{20}}{x - 7}$

Schritt 3.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{x - 7}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{x - 7}$

Schritt 3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{x - 7}$