Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} \sqrt{x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $7$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{7 + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{7 + \sqrt{7 - 6}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$\frac{7 + \sqrt{1}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 6.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{7 + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 6.1.4

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{8}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 6.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{8}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Schritt 6.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 6.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{8}{{(x - 1)}^{2}}$