Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 6} 6 - x}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 6} 6 - lim_{x \to 6} x}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{6 - lim_{x \to 6} x}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{6 - 6}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{0}{| 6^{2} - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = x$ .

$\frac{0}{| (6 + x) (6 - x) |}$

Schritt 3.2.2.3

Multipliziere $(6 + x) (6 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{| 6 (6 - x) + x (6 - x) |}$

Schritt 3.2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{| 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x) |}$

Schritt 3.2.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{| 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x) |}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{0}{| 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x) |}$

Schritt 3.2.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0}{| 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x) |}$

Schritt 3.2.2.4.1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{0}{| 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x) |}$

Schritt 3.2.2.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{0}{| 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x |}$

Schritt 3.2.2.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{0}{| 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x) |}$

Schritt 3.2.2.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{0}{| 36 - 6 x + 6 x - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2.4.2

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$\frac{0}{| 36 + 0 - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2.4.3

Addiere $36$ und $0$ .

$\frac{0}{| 36 - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2.5

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{0}{| 6^{2} - x^{2} |}$

Schritt 3.2.2.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = x$ .

$\frac{0}{| (6 + x) (6 - x) |}$

Schritt 3.2.3

Dividiere $0$ durch $| (6 + x) (6 - x) |$ .

$0$