Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{\sin (0)}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$0$