Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} x^{4 - 81}}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $4 - 81$ von $x^{4 - 81}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{4 - 81}}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{4 - 81}}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Bringe $3^{4 - 81}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(2 x^{2} - 5 x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{1}{(2 x^{2} - 5 (x) - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{1}{(2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{(2 x^{2} + x - 6 x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{1}{((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{1}{(x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x - 3) \cdot 3^{- (4 - 81)}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $81$ von $4$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x - 3) \cdot 3^{- - 77}}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 77$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x - 3) \cdot 3^{77}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{(2 x + 1) (x - 3) \cdot 3^{77}}$ um.

$\frac{1}{3^{77} (2 x + 1) (x - 3)}$