Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3 π} \cos (x) + 1}{x - 3 π}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3 π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3 π} \cos (x) + lim_{x \to 3 π} 1}{x - 3 π}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 3 π} x) + lim_{x \to 3 π} 1}{x - 3 π}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3 π$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 3 π} x) + 1}{x - 3 π}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3 π$ für $x$ .

$\frac{\cos (3 π) + 1}{x - 3 π}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\cos (π) + 1}{x - 3 π}$

Schritt 3.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \cos (0) + 1}{x - 3 π}$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + 1}{x - 3 π}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{x - 3 π}$

Schritt 3.1.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{x - 3 π}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x - 3 π$ .

$0$