Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} (\sqrt{x + 6}) - x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} - lim_{x \to 3} x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - lim_{x \to 3} x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Addiere $3$ und $6$ .

$\frac{\sqrt{9} - 3}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 3}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 6.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 - 3}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{0}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{0}{x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $x^{2} (x - 3)$ .

$0$