Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 3.2

Multipliziere $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{x} \sqrt{2}$ und $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ neu an.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $\sqrt{2} \sqrt{x}$ von $\sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ und $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.5

Vereinfache.

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

Schritt 3.4.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Schritt 3.5

Dividiere $0$ durch $x - 2$ .

$0$