Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 5}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 5}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Addiere $4$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{9}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{x - 4} - \sqrt{3}$

Schritt 3.3

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3}{x - 4} - \sqrt{3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3}{x - 4} + \frac{- \sqrt{3} (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - \sqrt{3} (x - 4)}{x - 4}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 4}{x - 4}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3}}{x - 4}$

Schritt 3.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x \sqrt{3} + 3 + 4 \sqrt{3}}{x - 4}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- (x \sqrt{3}) + 3 + 4 \sqrt{3}}{x - 4}$

Schritt 3.8

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- (x \sqrt{3}) - 1 (- 3) + 4 \sqrt{3}}{x - 4}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (x \sqrt{3} - 3) + 4 \sqrt{3}}{x - 4}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- (x \sqrt{3} - 3) - (- 4 \sqrt{3})}{x - 4}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sqrt{3} - 3) - (- 4 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{- (x \sqrt{3} - 3 - 4 \sqrt{3})}{x - 4}$

Schritt 3.12

Schreibe $- (x \sqrt{3} - 3 - 4 \sqrt{3})$ als $- 1 (x \sqrt{3} - 3 - 4 \sqrt{3})$ um.

$\frac{- 1 (x \sqrt{3} - 3 - 4 \sqrt{3})}{x - 4}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \sqrt{3} - 3 - 4 \sqrt{3}}{x - 4}$