Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} x}{5 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to 4} x}{5 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4 - 4}{5 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{5 - \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Schritt 3.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Schritt 3.2.3

Dividiere $0$ durch $5 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$0$