Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.1.4

Addiere $50$ und $75$ .

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.1.5

Addiere $125$ und $25$ .

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $5$ um als $9$ plus $- 4$

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

Schritt 7.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

Schritt 7.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

Schritt 7.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = 2 + x$ .

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache.

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Schritt 7.2.5.1

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

Schritt 7.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

Schritt 7.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

Schritt 7.2.5.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$