Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 5} \frac{2}{x - 1} - 2}{x - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \frac{2}{x - 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{2 \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} x - 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{2 \frac{1}{lim_{x \to 5} x - 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{2 \frac{1}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{2 \frac{1}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 5} 2}{x - 2}$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{2 \frac{1}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{2 \frac{1}{5 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{1}{5 - 1} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{2 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \frac{1}{2 (2)} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{1}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{2} - 1 \cdot 2}{x - 2}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 2}{x - 2}$

Schritt 3.2.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1 - 4}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 3}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3}{2}}{x - 2}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{(x - 2) \cdot 2}$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$- \frac{3}{2 (x - 2)}$