Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 1} x - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

Schritt 4.2

Dividiere $0$ durch $x^{\frac{1}{3}} - 1$ .

$0$