Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} \sin (x^{2} - 1)}{x - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}{x - 1}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}{x - 1}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{x - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sin (1^{2} - 1 \cdot 1)}{x - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sin (1 - 1 \cdot 1)}{x - 1}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (1 - 1)}{x - 1}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\sin (0)}{x - 1}$

Schritt 3.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{x - 1}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x - 1$ .

$0$