Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ und $2 x^{2} - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \cdot 2^{2}$ heraus.

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \cdot 2$ heraus.

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 4$ heraus.

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ als $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ um.

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 7.1.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2}) - 8}$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 7.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 7.1.8.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 1 (- 6 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 1 (- 6 + 4 + 2)}{x^{2} - 4}$

Schritt 7.2.3

Addiere $- 6$ und $4$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

Schritt 7.2.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 7.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 7.5

Dividiere $0$ durch $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$