Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{5}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 + 3) \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$ mit $\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5}$ .

$\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5} \cdot \frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 (\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + 3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2 + 3$ aus $(2 + 3) \cdot 5$ heraus.

$\frac{(2 + 3) (5) \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $(2 + 3) \cdot 5$ heraus.

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{5 + 5 \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 - 5}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $(2 + 3) \cdot 5$ aus $(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{0}{5 \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{0}{25 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{25 (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 3.5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{25 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $25$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $25$ aus $0$ heraus.

$\frac{25 (0)}{25 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{25 (0)}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 0}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.7

Dividiere $0$ durch $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$