Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} (\frac{1}{x}) - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{2 (x^{3} - 8)}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 1}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot - 8$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 8}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 8$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 (- 8)}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3}) + 2 (- 8)$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{3} - 8)}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{0}{2 (x^{3} - 2^{3})}$

Schritt 3.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2}))}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

$\frac{0}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 3.7

Dividiere $0$ durch $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$