Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 x^{2 + 6 x - 4}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 x^{6 x - 2}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $4 x^{6 x - 2}$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{6 \cdot - 2 - 2}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{- 12 - 2}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von $- 12$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{- 14}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 \frac{1}{{(- 2)}^{14}}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.5

Potenziere $- 2$ mit $14$ .

$\frac{4 (\frac{1}{16384})}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16384$ heraus.

$\frac{4 \frac{1}{4 (4096)}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{1}{4 \cdot 4096}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{4096}}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 (x^{2}) - 8}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.3

Multipliziere $\frac{1}{4096} \cdot \frac{1}{2 (x + 2) (x - 2)}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4096}$ mit $\frac{1}{2 (x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{1}{4096 (2 (x + 2) (x - 2))}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4096$ .

$\frac{1}{8192 ((x + 2) (x - 2))}$

$\frac{1}{8192 (x + 2) (x - 2)}$