Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x (2 x^{2} - 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 8}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot (2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot (2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot (2^{1} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot (2^{1 + 2} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot (2^{3} - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (8 - 1 \cdot 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{2 (8 - 8)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{2 \cdot 0}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 7.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 \cdot 0}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 7.5

Dividiere $0$ durch $(x - 6) (x + 2)$ .

$0$