Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} (\ln (x)) - \ln (2)}{x - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (x) - lim_{x \to 2} \ln (2)}{x - 2}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} \ln (2)}{x - 2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $\ln (2)$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} x) - \ln (2)}{x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\ln (2) - \ln (2)}{x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{2})}{x - 2}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\ln (1)}{x - 2}$

Schritt 3.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x - 2$ .

$0$