Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 3} (x^{2} + 2 x - 15) \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15 \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $\tan (2 x - 6)$ aus $\tan^{2} (2 x - 6)$ heraus.

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6) \tan (2 x - 6)}$

Schritt 11.2

Separiere Brüche.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6)}$

Schritt 11.3

Schreibe $\tan (2 x - 6)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}}$

Schritt 11.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}$ zu dividieren.

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Schritt 11.5

Schreibe $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Dividiere $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ durch $1$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

Schritt 11.6.2

Kombiniere $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ und $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.7.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{9 + 6 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.7.4

Addiere $9$ und $6$ .

$\frac{15 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.7.5

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{0}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.8

Schreibe $\tan (2 x - 6)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)} \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.10

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ .

$0 \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.11.1

Multipliziere $- 1 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 11.11.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.11.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$0 \frac{\sin (9 - 9) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.11.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$0 \frac{\sin (0) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.11.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 \frac{0 \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.12

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (2 x - 6)$ .

$0 \frac{0}{\sin (2 x - 6)}$

Schritt 11.13

Dividiere $0$ durch $\sin (2 x - 6)$ .

$0 \cdot 0$

Schritt 11.14

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0$