Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 25} 2 x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 25} x}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $25$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 25}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\frac{50}{\sqrt{625 - x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$\frac{50}{\sqrt{25^{2} - x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 25$ und $b = x$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{50}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{\sqrt{(25 + x) (25 - x)} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1} {\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1}}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe ${\sqrt{(25 + x) (25 - x)}}^{2}$ als $(25 + x) (25 - x)$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(25 + x) (25 - x)}$ als ${((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{({((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{{((25 + x) (25 - x))}^{1}}$

Schritt 3.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{50 \sqrt{(25 + x) (25 - x)}}{(25 + x) (25 - x)}$