Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\arctan (x)}{(\frac{1}{x}) - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \arctan (x)}{lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x}) - 2}$

Schritt 2

Der Grenzwert, wenn $x$ sich $\infty$ nähert, ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2}}{lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x}) - 2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{π}{2}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 2}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{π}{2}}{0 - lim_{x \to \infty} 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{π}{2}}{0 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{0 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{0 - 2}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{π}{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $\frac{π}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{π}{4}$

Dezimalform:

$- 0.78539816 \dots$