Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x e^{2} - 2 e^{x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x e^{2} - lim_{x \to 2} 2 e^{x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 2

Ziehe den Term $e^{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2} lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 e^{x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2} lim_{x \to 2} x - 2 lim_{x \to 2} e^{x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{2} lim_{x \to 2} x - 2 e^{lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{e^{2} \cdot 2 - 2 e^{lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{e^{2} \cdot 2 - 2 e^{2}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$\frac{2 \cdot e^{2} - 2 e^{2}}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $2 e^{2}$ von $2 e^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 3) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $(x - 3) (x - 2)$ .

$0$