Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{2}) - 8 x + 8}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{0}{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 4)}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 ({(x - 2)}^{2})}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Dividiere $0$ durch ${(x - 2)}^{2}$ .

$0$