Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} + x - 2}{| x + 2 |}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} + lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{| x + 2 |}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{| x + 2 |}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{| x + 2 |}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{| x + 2 |}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 - 1 \cdot 2}{| x + 2 |}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 2 - 1 \cdot 2}{| x + 2 |}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 + 2 - 2}{| x + 2 |}$

Schritt 5.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6 - 2}{| x + 2 |}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{4}{| x + 2 |}$